TEORIA DE LOS JUEGOS
En un contexto conflictivo y competitivo, existen adversarios que van en busca de objetivos diferentes, en este punto la Teoría de los Juegos siendo una teoría matemática, estudia las características generales de las situaciones competitivas de manera formal y abstracta, dando una importancia especial a los procesos de toma de decisiones de los adversarios.
Los adversarios los llamaremos jugadores, analizaremos las situaciones competitivas más sencillas donde participan solo 2 jugadores. Los juegos con suma cero, son aquellos donde un jugador gana lo que el otro jugador pierde, por tal motivo se le llama suma cero porque la suma de sus ganancias netas da como resultado cero, este tipo de juegos lo analizaremos en el siguiente trabajo
ORÍGENES DE LA TEORÍA DE
Los primeros síntomas se presentaron en una discusión escrita en una carta por James Waldegrave en 1713. Sin embargo el primer análisis teórico de la teoría de los juegos la presento Antoine Agustín Cournot en 1838. Cabe destacar que hasta este momento la teoría de juegos no existió como campo de estudio independiente hasta que John Von Neumann publica una serie de artículos en 1928, de estos artículos nace el libro Theory of Games and Economic Behavior cuyos autores fueron von Neumann y Oscar Morgenstern. Durante este periodo, los análisis se centraron en teoría de juegos cooperativos, que se fundamentan en la cooperación de los jugadores acerca de las estrategias mas apropiadas.
Los autores de la teoría de los juegos investigaron dos planteamientos distintos, el primero de ellos es el planteamiento estratégico o no cooperativo, del cual analizan los juegos competitivos o de suma cero. El segundo planteamiento es el coalicional o cooperativo donde involucra a muchos jugadores.
En 1950, aparecen los primeros planteamientos y discusiones sobre el dilema del prisionero y simultáneamente los desarrollos de John Nash acerca de una estrategia óptima para juegos de múltiples jugadores donde el óptimo no se había definido previamente. En esta época también fueron desarrollados los conceptos base, el juego de forma extensiva, el juego ficticio, los juegos repetitivos y el valor de Shapley así como también las aplicaciones de la teoría de juegos a la filosofía y ciencias políticas. Mas adelante se realizaran aportes importantes cuyos méritos habrán de ser reconocidos con un premio Nobel de Economía.
SOLUCIÓN ÓPTIMA DE JUEGOS DE DOS PERSONAS CON SUMA CERO Y DE ESTRATEGIAS MEZCLADAS
La solución óptima a un juego en el cual existe un conflicto de intereses, es escoger una o más estrategias para cada jugador, de tal modo que cualquier cambio en las estrategias elegidas no mejore la recompensa para el jugador o el adversario. Las soluciones pueden ser de una sola estrategia pura, o varias estrategias mezcladas de acuerdo con unas probabilidades predeterminadas.
Para ilustrar las características básicas de un modelo de juegos de dos personas con suma cero, tomemos como ejemplo el juego “pares o nones”. Este es un juego infantil en el que los dos jugadores muestran al mismo tiempo uno o dos dedos. Si el número de dedos coincide de manera que el número total para ambos jugadores es par, el jugador que apuesta pares gana la apuesta, por el contrario si la suma de dedos da como resultado un numero impar, el jugador que apuesta a impares gana. Cada jugador tiene dos estrategias: mostrar uno o dos dedos. El pago será en UM, el jugador perdedor deberá cancelarle al ganador 1UM. Un juego de dos personas se caracteriza por las estrategias del jugador 1, las del jugador 2 y su matriz de pagos.
Antes de iniciar el juego, cada jugador conoce las estrategias de que dispone, las que tiene su oponente y la matriz de pagos. Definimos como jugada real en el juego al hecho de que los jugadores elijan al mismo tiempo una estrategia sin saber cual es la elección de su oponente.
Una estrategia puede constituir una acción sencilla, pero por otro lado en juegos mas complicados que llevan en sí una serie de movimientos, una estrategia es una regla predeterminada que especifica por completo como se intenta responder a cada circunstancia posible en cada etapa del juego.
La matriz de pagos muestra la ganancia para el jugador 1, que resultaría con cada combinación de estrategias en ambos jugadores, utilizando cualquier tipo de unidades.
MATRIZ DE PAGOS DE A
B1 B2
A1 1 -1
A2 -1 1
A seria el jugador 1 y B el jugador 2, tanto A1,A2,B1,B2 son las estrategias para ambos jugadores. Los valores maximin y mínimas del juego (que explicaremos en el segundo ejemplo) son 1UM y -1UM, como los dos valores no son iguales, el juego no tiene solución de estrategia pura. En particular, si el jugador A elige A1, el jugador B seleccionará B2 para recibir 1UM de A. si eso sucede A puede cambiar la estrategia para invertir el resultado del juego. La tentación constante de los dos jugadores de cambiar la estrategia, muestra que no se acepta una solución de estrategia pura. En lugar de ello, ambos jugadores deben usar mezclas aleatorias de sus estrategias respectivas.
Un objetivo primordial de la teoría de juegos es desarrollar criterios racionales para seleccionar una estrategia, los cuales implican dos suposiciones importantes: primero considerar que ambos jugadores son racionales y segundo que ambos jugadores eligen sus estrategias sólo para promover su propio bienestar sin tener compasión por el oponente.
La teoría de juegos se contrapone al análisis de decisión, en donde se hace la suposición de que el tomador de decisiones está jugando contra un oponente pasivo, es decir La Naturaleza , la cual elige sus estrategias de alguna manera aleatoria.
Un ejemplo de estrategias mezcladas es el siguiente:
Dos empresas, A y B, venden dos libros de Investigación de Operaciones aplicados a Economía, la empresa A se anuncia en radio (A1), en televisión (A2) y en los periódicos (A3). La empresa B, además de usar los medios anteriores (B1, B2, B3 respectivamente), también envía folletos por correo a los estudiantes (B4). De acuerdo con el ingenio y la intensidad de la campaña publicitaria, cada empresa puede capturar una parte del mercado que correspondía a la otra. La matriz siguiente es un resumen del porcentaje del mercado capturado o perdido por la empresa A
MATRIZ DE PAGOS PARA LA EMPRESA A
B1 B2 B3 B4 Mín. de renglón
A1 8 -2 9 -3 -3
A2 6 5 6 8 5 Maximin
A3 -2 4 -9 5 -9
Máx. de columna 8 5 -9 8
Mínimas
La solución del juego se basa en el principio de asegurar lo “mejor de lo peor” para cada empresa. Si la empresa A selecciona la estrategia A1, entonces independientemente de lo que haga B, lo peor que puede suceder es que A pierda el 3% del mercado, que adquiere B. Esto se representa con el valor mínimo de los elementos del renglón 1, De igual modo, el peor de los resultados de la estrategia A3, es que B le gane un 9% del mercado. Estos resultados se colocan en la columna “Mín. de renglón”. Para lograr “lo mejor de lo peor”, la empresa A escoge la estrategia A2, porque corresponde al valor Maximin, es decir el elemento mayor de la columna “Mín. de renglón”.
Como la matriz de recompensa dada es para A, la estrategia de la empresa B considerando el criterio de “lo mejor de lo peor” requiere determinar el valor Mínimax para lo cual B debe seleccionar la estrategia B2. la solución óptima del juego pide seleccionar las estrategias A2 y B2, es decir, que ambas deben usar una campaña publicitaria televisiva. La recompensa favorecerá a la empresa A, porque su parte del mercado aumentará 5%. En este caso se dice que el valor del juego es de 5%, y que A y B están usando una solución de estrategia pura de punto de silla.
La solución de punto de silla, garantiza que ninguna empresa tenga la tentación de seleccionar una estrategia mejor. Si B llegara a pasar a otra estrategia, la empresa A puede permanecer con su misma estrategia, con la que asegura que B pierda una parte del mercado. Por la misma razón la empresa A no desea usar una estrategia distinta.
En el caso del ejemplo del juego Pares o Nones, el valor óptimo del juego estará en algún punto entre los valores maximin y mínimas, es decir:
Valor maximin ≤ valor del juego ≤ valor minimax
Oscar Torrealba
Bibliografía: Investigacion de Operaciones. taha
Investigacion de Operaciones . Hiller
No hay comentarios:
Publicar un comentario